Kontinuerliga system
Applied Mathematics

FMAN55, 7.5 högskolepoäng, A (Avancerad nivå)

Gäller för: 2024/25
Fakultet: Lunds tekniska högskola
Beslutad av: Programledning F/Pi
Beslutsdatum: 2024-04-15
Ikraftträdande: 2024-05-08

Allmänna uppgifter

Huvudområde: Teknik Fördjupning: Avancerad nivå, kurs/er som inte kan klassificeras
Obligatorisk för: F2, Pi2
Valfri för: D4, E4, M4
Undervisningsspråk: Kursen ges på svenska

Syfte

Med ett kontinuerligt system menas inom ingenjörsvetenskaperna ett system vars tillståndsrum beskrivs av en kontinuerlig familj av parametrar. Kontinuerliga system uppträder ymnigt i fysik och andra naturvetenskaper, inom mekanik-, elektro- och andra teknikvetenskaper, inom ekonomiska vetenskaper etc. Kontinuerliga system leder för sin beskrivning i allmänhet till partiella differentialekvationer.

Ett syfte med kursen är att förmedla matematiska verktyg, samt förmåga att använda dessa, för hela kedjan modellbygge - analys - tolkning av lösningar för partiella differentialekvationer som uppkommer för sådana system. Ett annat syfte är det omvända: att genom att visa hur en matematisk begreppsapparat som t ex Hilbertrum används i konkreta tillämpningar lägga grunden för en matematisk generalistkompetens användbar såväl i fortsatta studier som i yrkesverksamhet. Ett syfte är också att studenten ska stifta bekantskap med användning och användbarhet av datorhjälpmedel för beräkning och simulering.

Mål

Kunskap och förståelse
För godkänd kurs skall studenten

• kunna visa förmåga att formulera matematiska modeller för fenomen inom värmeledning, diffusion, vågutbredning och elektrostatik.
• kunna visa förmåga att fysikaliskt tolka matematiska modeller med olika randvillkor för de tre grundtyperna av partiella differentialekvationer: värmeledningsekvationen, vågekvationen och Laplace/Poissons ekvation, samt att förstå karaktären av deras lösningar.
• kunna visa förmåga att använda spektralmetoder (Fourier) och källfunktionsmetoder (Green) för att lösa problem för de tre grundtyperna av ekvationer i några enkla geometrier.
• kunna visa förmåga att tolka funktioner som abstrakta vektorer i ett Hilbertrum, och att för funktioner använda begrepp som norm, avstånd och skalärprodukt.
• kunna visa förmåga att avgöra om en operator är symmetrisk och förmåga att identifiera Sturm-Liouvilleoperatorer.
• kunna visa förmåga att bestämma egenfunktioner och egenvärden för några typer av Sturm-Liouvilleoperatorer, i synnerhet sådana som är förknippade med Laplaceoperatorn i en, två och tre dimensioner.
• kunna visa förmåga att beskriva projektionsformeln och använda den för att lösa minsta kvadrat-problem.
• ha viss erfarenhet och förståelse av användning av matematiska och numeriska datorprogram för att lösa problem med anknytning till kursen.

Färdighet och förmåga
För godkänd kurs skall studenten

• kunna visa förmåga att självständigt välja lämpliga metoder för att lösa de tre grundtyperna av partiella differentialekvationer och att genomföra lösningen av dessa i huvudsak korrekt.
• kunna visa förmåga att använda teoretiska verktyg från områden som Hilbertrum, speciella funktioner, distributionsteori, Fourier- och Laplacetransformationer samt Greenfunktioner vid lösning av de tre grundtyperna av partiella differentialekvationerna i enkla geometrier.
• i samband med problemlösning kunna visa förmåga att integrera kunskaper från de olika delarna i kursen.
• med adekvat terminologi, väl strukturerat och logiskt sammanhängande kunna redogöra för lösningen till matematiska problem inom kursens ram.

Värderingsförmåga och förhållningssätt
För godkänd kurs skall studenten

Kursinnehåll

Fysikaliska modeller. Fouriers metod, serieutvecklingar och integraltransformer. Greenfunktioner. Vågutbredning. Funktionsrum och funktionsnormer. Hilbertrum. Sturm-Liouvilleoperatorer och deras egenvärden och egenfunktioner, speciellt Laplaceoperatorn med enkla randvillkor för enkla områden. Speciella funktioner, tex Bessel, Legendre, klotytefunktioner. Distributioner. Fouriertransform, Laplacetransform. Något om numerisk lösning av partiella differentialekvationer.

Kursens examination

Betygsskala: TH - (U, 3, 4, 5) - (Underkänd, Tre, Fyra, Fem)
Prestationsbedömning: Skriftligt prov omfattande teori och problem. Datorlaborationer. Via ett frivilligt skriftligt prov efter den första halvan av kursen ges studenterna möjlighet att få bonus att räkna med vid den slutliga tentamen.

Om så krävs för att en student med varaktig funktionsnedsättning ska ges ett likvärdigt examinationsalternativ jämfört med en student utan funktionsnedsättning, så kan examinator efter samråd med universitetets avdelning för pedagogiskt stöd fatta beslut om alternativ examinationsform för berörd student.

Moduler
Kod: 0117. Benämning: Kontinuerliga system.
Antal högskolepoäng: 7.5. Betygsskala: TH - (U, 3, 4, 5). Prestationsbedömning: Skriftlig tentamen omfattande teori och problem. Modulen omfattar: Se kursinnehåll.
Kod: 0217. Benämning: Laborationer.
Antal högskolepoäng: 0.0. Betygsskala: UG - (U, G). Prestationsbedömning: Under kursen visas hur många vanliga fysikaliska fenomen kan modelleras som partiella differentialekvationer med randvillkor, och för vanliga sådana visas hur lösningen kan skrivas som en (oändlig) summa av enkla egenfunktioner. Vid laborationen används detta för att studera lösningar numeriskt, och illustrera dem grafiskt. Speciellt tydliggörs hur valet av randvillkor - som skiljer sig mellan olika fysikaliska situationer - påverkar lösningarnas utseende. Modulen omfattar:

Antagningsuppgifter

Förkunskapskrav:

• (FMA420 Linjär algebra eller FMAA20 Linjär algebra med introduktion till datorhjälpmedel eller FMAB20 Linjär algebra eller FMAB22 Lineär algebra eller FMAF01 Matematik - Funktionsteori eller FMAF05 Matematik - System och transformer)
    och
  (FMA430 Flerdimensionell analys eller FMA435 Flerdimensionell analys med vektoranalys eller FMAB30 Flerdimensionell analys eller FMAB35 Flerdimensionell analys med vektoranalys eller FMAF01 Matematik - Funktionsteori eller FMAF05 Matematik - System och transformer)

Kurslitteratur

• Sparr, G & Sparr, A: Kontinuerliga system. Studentlitteratur, 2000, ISBN: 91-44-01355-8.
• Sparr, G & Sparr, A: Kontinuerliga system - Övningsbok. Studentlitteratur, 2000, ISBN: 91-44-01234-9. Helst 2006 års tryckning.
• Matematikcentrum: Laborationshandledningar. Distribueras av institutionen.

Kontaktinfo

Lärare: Sara Maad Sasane, Sara.Maad_Sasane@math.lth.se
Studierektor: Studierektor Anders Holst, Studierektor@math.lth.se
Kursadministratör: Studerandeexpeditionen, expedition@math.lth.se
Hemsida: https://canvas.education.lu.se/courses/20325

Övrig information