Differentialgeometri
Differential Geometry

FMAP20, 7.5 högskolepoäng, A (Avancerad nivå)

Gäller för: 2025/26
Fakultet: Lunds tekniska högskola
Beslutad av: Programledning F/Pi
Beslutsdatum: 2025-04-10
Ikraftträdande: 2025-05-05

Allmänna uppgifter

Fördjupning: Avancerad nivå, kurs/er som inte kan klassificeras
Valfri för: F4, F4-mtm, Pi4-mtm
Undervisningsspråk: Kursen ges på engelska

Syfte

Kursens övergripande mål är att ge en introduktion till klassisk differentialgeometri av betydelse för fortsatta studier inom matematikämnet samt inom relevanta delar av fysik och teknik. Syftet är vidare att utveckla studenternas förmåga att lösa problem och kommunicera matematiska resonemang.

Mål

Kunskap och förståelse
För godkänd kurs skall studenten

• kunna redogöra för de begrepp och metoder inom klassisk differentialgeometri som behandlas under kursen,
• kunna identifiera de viktigaste satserna i kursen och redogöra för deras bevis,
• kunna ingående redogöra för teorin bakom de metoder som används i differentialgeometrin inom kursens ram,

Färdighet och förmåga
För godkänd kurs skall studenten

• kunna integrera kunskaper från de olika delarna av kursen i samband med problemlösning,
• kunna redogöra för lösningen till ett matematiskt problem inom kursens ram i tal och i skrift, logiskt sammanhängande och med adekvat terminologi,
• kunna inom givna tidsramar planera och med adekvata metoder genomföra uppgifter relevanta för kursen.

Värderingsförmåga och förhållningssätt
För godkänd kurs skall studenten

• kunna argumentera för differentialgeometrins betydelse som verktyg inom andra områden, t.ex. fysiken.

Kursinnehåll

• Geometrin hos kurvor i euklidiska rum, deras krökning och torsion och hur dessa bestämmer kurvorna.
• Geometrin hos ytor i euklidiska rum, deras första och andra fundamentalform, Gaussavbildningen, principalkrökningar, Gausskrökning och medelkrökning.
• Theorema Egregium samt en djup analys av geodeter och deras uppförande både lokalt och globalt.
• Gauss-Bonnets sats: två olika lokala versioner och den berömda globala versionen.

Kursens examination

Betygsskala: TH - (U, 3, 4, 5) - (Underkänd, Tre, Fyra, Fem)
Prestationsbedömning:

Examinationen består av en skriftlig tentamen och en muntlig tentamen vid kursens slut, samt muntlig redovisning av en gruppuppgift under kursens gång. Muntlig tentamen ges endast för de studenter som har blivit godkända på skriftlig tentamen.

För godkänt på kursen krävs godkänt - minst 50% av maximal poäng - på både skriftlig och muntlig tentamen. För betyg betyget 4 krävs minst 67% av den sammanlagt möjliga poängen och för betyget 5 krävs minst 80% av den sammanlagda poängen.

De maximala antalen poäng vid skriftlig och muntlig tentamen är viktade i förhållandet fem till två.

Om så krävs för att en student med varaktig funktionsnedsättning ska ges ett likvärdigt examinationsalternativ jämfört med en student utan funktionsnedsättning, så kan examinator efter samråd med universitetets avdelning för pedagogiskt stöd fatta beslut om alternativ examinationsform för berörd student.

Moduler
Kod: 0125. Benämning: Skriftlig tentamen.
Antal högskolepoäng: 5.0. Betygsskala: UG - (U, G). Prestationsbedömning: Skriftligt prov omfattande teori och problem. Modulen omfattar: Hela kursen.
Kod: 0225. Benämning: Muntlig tentamen.
Antal högskolepoäng: 2.0. Betygsskala: UG - (U, G). Prestationsbedömning: Muntlig examination av teorin. Modulen omfattar: Hela kursen.
Kod: 0325. Benämning: Muntlig redovisning.
Antal högskolepoäng: 0.5. Betygsskala: UG - (U, G). Prestationsbedömning: Muntlig redovisning av ett mindre projekt som genomförs i grupp.

Antagningsuppgifter

Förkunskapskrav:

• FMAB22 Lineär algebra och FMAB35 Flerdimensionell analys med vektoranalys

Kurslitteratur

• Gudmundsson, Sigmundur: An Introduction to Gaussian Geometry. 2023. Lärobok. Tillgänglig som pdf-fil.
  https://www.matematik.lu.se/matematiklu/personal/sigma/Gauss.pdf
• Carmo, Manfredo Perdigao do: Differential geometry of curves and surfaces. Englewood Cliffs, N.J. Prentice-Hall, 1976, ISBN: 0132125897. Rekommenderad bredvidläsning.
• Woodward, L. M: A first course in differential geometry : Surfaces in Euclidean space. Cambridge ; New York, NY : Cambridge University Press, 2019, ISBN: 9781108424936. Rekommenderad bredvidläsning.
• Pressley, Andrew N: Elementary differential geometry. 2009, ISBN: 184882890X. Rekommenderad bredvidläsning.

Kontaktinfo

Lärare: Sigmundur Gudmundsson, sigmundur.gudmundsson@math.lu.se
Examinator: Anders Holst, Anders.Holst@math.lth.se
Studierektor: Anders Holst, Anders.Holst@math.lth.se
Studierektor: Anna-Maria Persson, anna-maria.persson@math.lu.se