Galoisteori
Galois Theory

FMAP25, 7.5 högskolepoäng, A (Avancerad nivå)

Gäller för: 2025/26
Fakultet: Lunds tekniska högskola
Beslutad av: Programledning F/Pi
Beslutsdatum: 2025-04-10
Ikraftträdande: 2025-05-05

Allmänna uppgifter

Fördjupning: Avancerad nivå, kurs/er som inte kan klassificeras
Valfri för: F5, F5-mtm, Pi5-mtm
Undervisningsspråk: Kursen ges på engelska

Syfte

Galoisteorin utvecklades ursprungligen av Évariste Galois för att karakterisera de polynomekvationer som kan lösas med hjälp av rotutdragningar. Den har senare även använts för att lösa klassiska geometriska problem, t ex för att visa att det är omöjligt att med enbart passare och (ograderad) linjal dela en vinkel i tre lika stora delar.

Kursen syftar till att ge en djupare förståelse av kroppsutvidgningar samt en koppling mellan teorin om polynomekvationer och gruppteori.

Mål

Kunskap och förståelse
För godkänd kurs skall studenten

• kunna utförligt redogöra för de begrepp, satser och metoder som ingår i kursen,
• kunna identifiera de viktigaste satserna i kursen och presentera deras bevis.

Färdighet och förmåga
För godkänd kurs skall studenten

• kunna i samband med problemlösning integrera kunskaper från olika delar av kursen,
• kunna självständigt identifiera problem som kan lösas med metoder som ingår i kursen och använda lämpliga lösningsmetoder,
• kunna redogöra för lösningen till ett matematiskt problem inom kursens ram, i tal och skrift, logiskt sammanhängande och med adekvat terminologi.

Värderingsförmåga och förhållningssätt
För godkänd kurs skall studenten

• kunna argumentera för vikten av Galoisteori som verktyg för att lösa problem inom andra områden av matematiken, såsom teorin om polynomekvationer.

Kursinnehåll

• Kroppsutvidgningar: splittringskroppar, normala utvidgningar och separabla utvidgningar, kroppsautomorfismer, normala höljen.
• Galoisgrupper: Galoisutvidgningar, Galoiskorrespondens, Galoisteorins fundamentalsats.
• Polynomekvationer: lösbarhet med rotutdragningar, olösbara femtegradsekvationer, symmetriska polynom, cyklotomiska utvidgningar.

Kursens examination

Betygsskala: TH - (U, 3, 4, 5) - (Underkänd, Tre, Fyra, Fem)
Prestationsbedömning:

Examination sker i form av en skriftlig tentamen och en till denna hörande muntlig tentamen vid kursens slut. Muntlig tentamen ges endast för de studenter som har blivit godkända på tillhörande skriftlig tentamen.

För godkänt på kursen krävs godkänt - minst 50% av maximal poäng - på både skriftlig och muntlig tentamen. För betyg betyget 4 krävs minst 67% av den sammanlagt möjliga poängen och för betyget 5 krävs minst 80% av den sammanlagda poängen.

De maximala antalen poäng vid skriftlig och muntlig tentamen är viktade i förhållandet tre till ett.

Om så krävs för att en student med varaktig funktionsnedsättning ska ges ett likvärdigt examinationsalternativ jämfört med en student utan funktionsnedsättning, så kan examinator efter samråd med universitetets avdelning för pedagogiskt stöd fatta beslut om alternativ examinationsform för berörd student.

Moduler
Kod: 0125. Benämning: Skriftlig tentamen.
Antal högskolepoäng: 5.0. Betygsskala: UG - (U, G). Prestationsbedömning: Skriftligt prov omfattande teori och problem. Modulen omfattar: Hela kursen.
Kod: 0225. Benämning: Muntlig tentamen.
Antal högskolepoäng: 2.5. Betygsskala: UG - (U, G). Prestationsbedömning: Muntlig examination på teorin. Modulen omfattar: Hela kursen.

Antagningsuppgifter

Förkunskapskrav:

• FMAN10 Algebraiska strukturer

Kurslitteratur

• Stewart, Ian, 1945-: Galois theory [Elektronisk resurs]. Boca Raton, Fla. Chapman & Hall/CRC, 2004, ISBN: 0203489306. Kursbok.
• Cox, David A: Galois Theory [Elektronisk resurs]. Hoboken : John Wiley & Sons, 2012, ISBN: 978-1118072059. Rekommenderad tilläggstext.
• Rotman, Joseph J., 1934-: Galois theory. New York : Springer, 1998, ISBN: 0387985417. Rekommenderad tilläggstext.

Kontaktinfo

Lärare: Anitha Thillaisundaram, anitha.thillaisundaram@math.lu.se
Examinator: Anders Holst, Anders.Holst@math.lth.se
Studierektor: Anders Holst, Anders.Holst@math.lth.se
Studierektor: Anna-Maria Persson, anna-maria.persson@math.lu.se