Integrationsteori
Integration Theory

FMAP10, 7.5 högskolepoäng, A (Avancerad nivå)

Gäller för: 2025/26
Fakultet: Lunds tekniska högskola
Beslutad av: Programledning F/Pi
Beslutsdatum: 2025-04-10
Ikraftträdande: 2025-05-05

Allmänna uppgifter

Fördjupning: Avancerad nivå, kurs/er som inte kan klassificeras
Valfri för: F4, F4-mtm, Pi4-mtm
Undervisningsspråk: Kursen ges på engelska

Syfte

Kursens huvudmål är att ge en presentation av modern integrationsteori baserad på den allmänna måtteorin. Studenterna kommer att förvärva ett kraftfullt maskineri tillämpligt på viktiga problem inom analys såväl som inom andra områden i matematik, särskilt sannolikhetsteori, partiella differentialekvationer och spektralteori. Detta inkluderar mått definierade på en sigmaalgebra, konstruktion av mått med hjälp av yttre mått, i synnerhet Lebesgue-måttet

på R^d. Dessa begrepp används sedan för att definiera integralen av en mätbar funktion med avseende på ett visst mått och studera dess egenskaper. Fokus ligger på konvergenssatser, det vill säga omkastning av gränsvärdesövergång och integration, samt upprepad integration (i varje variabel för sig) som ett specialfall av integration över produktrum.

Mål

Kunskap och förståelse
För godkänd kurs skall studenten

• kunna ge en detaljerad redogörelse för de begrepp, teorier och metoder inom integrationsteori som behandlas i kursen,
• kunna identifiera kursens huvudsatser, beskriva huvudidéerna och utföra stegen i deras bevis,
• kunna ge exempel på icke-triviala situationer där dessa satser gäller,
• kunna ge en detaljerad redogörelse för förhållandet mellan Riemann och Lebesgueintegralen för en funktion definierad på ett kompakt intervall.

Färdighet och förmåga
För godkänd kurs skall studenten

• kunna integrera kunskap från kursens olika delar i samband med problemlösning,
• kunna identifiera problem som kan lösas med metoder som ingår i kursen och lösa dessa med lämpliga lösningsmetoder,
• kunna förklara lösningen på relaterade matematiska problem, i tal och skrift, logiskt koherent och med adekvat terminologi.

Värderingsförmåga och förhållningssätt
För godkänd kurs skall studenten

• kunna identifiera situationer där metoderna för integrationsteori är tillämpliga, till exempel inom andra områden som sannolikhetsteori, partiella differentialekvationer, funktionsrum.

Kursinnehåll

Kursen behandlar definitionen och grundläggande egenskaperna hos mått och integraler i allmänna mätbara rum:

• definition av mått och konstruktion med hjälp av yttre mått,
• Lebesgue-måttet på R^d och Lebesgue-Stieltjes-mått på den reella axeln,
• mätbara funktioner och deras integraler med avseende på ett givet mått.
• Lebesgue-integralen på R^d och jämförelse med Riemann-integralen,
• satser rörande monoton och dominerande konvergens, Fatous lemma,
• punktvis konvergens nästan överallt, konvergens i mått och medelvärde. L^p-rum, Hölders och Minkowskis olikheter,
• produktmått, Fubinis och Tonellis satser.

Kursens examination

Betygsskala: TH - (U, 3, 4, 5) - (Underkänd, Tre, Fyra, Fem)
Prestationsbedömning:

Examinationen består av en skriftlig tentamen och en till denna hörande muntlig tentamen vid kursens slut. Muntlig tentamen ges endast för de studenter som har blivit godkända på tillhörande skriftlig tentamen.

Slutbetyget baseras på studentens totala poäng på de båda tentamina. Den skriftliga tentamen motsvarar 75% av total poäng och den muntliga 25%. För betyget 3 krävs minst 50% av total poäng, för betyget 4 krävs 67% och för betyget 5 krävs 80% av total poäng.

Om så krävs för att en student med varaktig funktionsnedsättning ska ges ett likvärdigt examinationsalternativ jämfört med en student utan funktionsnedsättning, så kan examinator efter samråd med universitetets avdelning för pedagogiskt stöd fatta beslut om alternativ examinationsform för berörd student.

Moduler
Kod: 0125. Benämning: Skriftlig tentamen.
Antal högskolepoäng: 5.0. Betygsskala: UG - (U, G). Prestationsbedömning: Skriftligt prov omfattande teori och problem. Modulen omfattar: Hela kursen.
Kod: 0225. Benämning: Muntlig tentamen.
Antal högskolepoäng: 2.5. Betygsskala: UG - (U, G). Prestationsbedömning: Muntlig prov på teori. Modulen omfattar: Hela kursen.

Antagningsuppgifter

Förkunskapskrav:

• (FMAB30 Flerdimensionell analys eller FMAB35 Flerdimensionell analys med vektoranalys) och (FMAF01 Matematik - Funktionsteori eller FMAA60 Introduktion till reell analys)

Kurslitteratur

• Cohn, Donald L: Measure Theory [Elektronisk resurs] Second Edition. New York, NY : Springer New York : Imprint: Birkhäuser, 2013, ISBN: 9781461469568.
• Stein, Elias M: Real Analysis [Elektronisk resurs]. 2010. Rekommenderad bredvidläsning.

Kontaktinfo

Lärare: Marcus Carlsson, marcus.carlsson@math.lu.se
Examinator: Anders Holst, Anders.Holst@math.lth.se
Studierektor: Anders Holst, Anders.Holst@math.lth.se
Studierektor: Anna-Maria Persson, anna-maria.persson@math.lu.se