Variationskalkyl
Calculus of Variations

FMAN25, 7.5 högskolepoäng, A (Avancerad nivå)

Gäller för: 2025/26
Fakultet: Lunds tekniska högskola
Beslutad av: Programledning F/Pi
Beslutsdatum: 2025-04-10
Ikraftträdande: 2025-05-05

Allmänna uppgifter

Fördjupning: Avancerad nivå, kurs/er som inte kan klassificeras
Valfri för: D4, E4, F4, F4-bg, Pi4-bs, Pi4-fm, Pi4-bem
Undervisningsspråk: Kursen ges på begäran på engelska

Syfte

Kursen syftar till att presentera grundläggande teori för, och användning av, variationskalkyl, dvs. optimeringsproblem för ''funktioner av funktioner''. Ett klassiskt exempel är det isoperimetriska problemet: att bestämma den slutna kurva av given längd som innesluter maximal area. Många fysikaliska lagar kan formuleras som variationsprinciper, t ex lagen om ljusbrytning. Variationskalkylen är också en av hörnstenarna i den klassiska mekaniken och har många andra tekniska tillämpningar, t ex inom systemteori och optimal reglering.

Mål

Kunskap och förståelse
För godkänd kurs skall studenten

• kunna redogöra för grunderna i teorin i samband med ett muntligt förhör.

Färdighet och förmåga
För godkänd kurs skall studenten

• kunna visa förmåga att identifiera problem som kan modelleras med de införda begreppen.
• kunna integrera metoder och synsätt från de olika delarna i kursen för att lösa problem och besvara frågeställningar inom kursens ram.
• i tal och i skrift, logiskt sammanhängande och med adekvat terminologi kunna redogöra för lösningen till ett matematiskt problem inom kursens ram.

Kursinnehåll

• Variationsproblem utan och med bivillkor. Eulers ekvationer med och utan bivillkor. Legendres, Jacobis och Weierstrass nödvändiga villkor för lokalt minimum.
• Hilberts invarianta integral och Weierstrass tillräckliga villkor för starkt lokalt minimum.
• Hamiltons princip och Hamiltons ekvationer. Lagranges och Mayers problem.

Kursens examination

Betygsskala: TH - (U, 3, 4, 5) - (Underkänd, Tre, Fyra, Fem)
Prestationsbedömning: Inlämningsuppgifter och muntlig tentamen.

Om så krävs för att en student med varaktig funktionsnedsättning ska ges ett likvärdigt examinationsalternativ jämfört med en student utan funktionsnedsättning, så kan examinator efter samråd med universitetets avdelning för pedagogiskt stöd fatta beslut om alternativ examinationsform för berörd student.

Moduler
Kod: 0115. Benämning: Variationskalkyl.
Antal högskolepoäng: 7.5. Betygsskala: TH - (U, 3, 4, 5).

Antagningsuppgifter

Förutsatta förkunskaper: FMAB30 Flerdimensionell analys.
Begränsat antal platser: Nej
Kursen överlappar följande kurser: FMA200 MATC25

Kurslitteratur

• Kot, M: A First Course in the Calculus of Variations. American Mathematical Society, 2014, ISBN: 978-1-4704-1495-5.

Kontaktinfo

Kursansvarig: Anders Holst, studierektor@math.lth.se
Lärare: Pelle Pettersson, Pelle.Pettersson@math.lth.se
Examinator: Anders Holst, Anders.Holst@math.lth.se
Kursadministratör: Studerandeexpeditionen, expedition@math.lth.se
Hemsida: https://canvas.education.lu.se/courses/20370