Numeriska metoder för partiella differentialekvationer
Numerical Methods for Partial Differential Equations

FMNN45, 7.5 högskolepoäng, A (Avancerad nivå)

Gäller för: 2025/26
Fakultet: Lunds tekniska högskola
Beslutad av: Programledning F/Pi
Beslutsdatum: 2025-04-10
Ikraftträdande: 2025-05-05

Allmänna uppgifter

Fördjupning: Avancerad nivå, kurs/er som inte kan klassificeras
Valfri för: F4, F4-bs, Pi4-bs
Undervisningsspråk: Kursen ges på engelska

Syfte

Kursen är en fortsättning på FMNN10 Numeriska metoder för differentialekvationer och syftet med kursen är att fördjupa studentens kunskaper om partiella differentialekvationer, med tonvikt på numerisk approximation av lösningar, och att ge träning i att praktiskt lösa relevanta beräkningsproblem i pythonmiljö med verktyg i DUNE (Distributed and Unified Numerics Environment), en modulär numerisk verktygslåda för partiella differentialekvationer.

Mål

Kunskap och förståelse
För godkänd kurs skall studenten

• kunna redogöra för hur funktionalanalytiska begrepp används för att utveckla och analysera numeriska algoritmer för elliptiska partiella differentialekvationer,
• kunna förklara hur man kan diskretisera differentialekvationer med finita elementmetoden,
• kunna ange och härleda enkla feluppskattningar för elliptiska problem,
• kunna självständigt identifiera en lämplig numerisk metod och lämpliga parametrar med avseende på givna noggrannhets- och effektivitetskrav,
• kunna ge exempel på viktiga tillämpningsområden där de algoritmer som förekommer i kursen är viktiga,
• kunna redogöra för begrepp som presenteras i kursen med adekvat terminologi, skriftligt och muntligt.

Färdighet och förmåga
För godkänd kurs skall studenten

• kunna självständigt överföra problem till finita elementform och tillämpa lämpliga lösningsstrategier med hjälp av DUNE-FEM,
• kunna dra relevanta slutsatser utifrån observation och tolkning av beräkningsresultat, samt i fritt rapportformat på vetenskaplig grund kunna demonstrera och redogöra för sina slutsatser,
• kunna självständigt presentera resultat och slutsatser av numeriska experiment utförda med DUNE-FEM, i skriftlig och muntlig form, med referenser och annan dokumentation av utfört arbete till stöd för sina slutsatser.

Värderingsförmåga och förhållningssätt
För godkänd kurs skall studenten

• kunna självständigt utvärdera erhållna numeriska resultat från DUNE-FEM i förhållande till tillgänglig teori,

Kursinnehåll

Teori för elliptiska partiella differentialekvationer (PDE): Välställda problem. Svag teori för lösbarhet. Existens och entydighet. Stabilitet med avseende på data och approximation av lösningar. Regularitet av lösningar

Lösning med finita elementmetoden i DUNE-FEM: Introduktion till DUNE-FEM. Diskretisering av randvärdesproblem för PDE i DUNE-FEM med hjälp av finita elementmetoden (FEM). Konstruktion av ändliga element, t.ex. diskretiseringsrutnät, referenselement, avbildningar av frihetsgrader (DOF).

Användning av DUNE-FEM:s Unified Form Language (UFL) för beskrivning av svaga formuleringar av partiella differentialekvationer.

Parallellisering av Finita Element-metoder med användning av områdesuppdelning,

Adaptiva finita elementmetoder.

Kursens examination

Betygsskala: TH - (U, 3, 4, 5) - (Underkänd, Tre, Fyra, Fem)
Prestationsbedömning:

Ett antal obligatoriska projekt genomförda i mindre grupper ingår i kursen.

Examinationen består av en skriftlig slutrapport och en tillhörande muntlig presentation av gruppens lösningar av projekten.

Närvaro vid alla muntliga grupp-presentationer av projekten är obligatorisk.

Om så krävs för att en student med varaktig funktionsnedsättning ska ges ett likvärdigt examinationsalternativ jämfört med en student utan funktionsnedsättning, så kan examinator efter samråd med universitetets avdelning för pedagogiskt stöd fatta beslut om alternativ examinationsform för berörd student.

Moduler
Kod: 0125. Benämning: Numeriska metoder för partiella differentialekvationer.
Antal högskolepoäng: 7.5. Betygsskala: TH - (U, 3, 4, 5).

Antagningsuppgifter

Förkunskapskrav:

• (FMAB30 Flerdimensionell analys eller FMAB35 Flerdimensionell analys med vektoranalys) och FMNN10 Numeriska metoder för differentialekvationer

Kurslitteratur

• Larsson, Stig. author: Partial Differential Equations with Numerical Methods / by Stig Larsson, Vidar Thomee [Elektronisk resurs]. Springer, 2009, ISBN: 9783540887065.
• Renardy, Michael: An introduction to partial differential equations [Elektronisk resurs]. New York : Springer, 2004, ISBN: 0387004440.
• Brenner, Susanne C: The Mathematical Theory of Finite Element Methods [elektronisk resurs]. New York, NY : Springer, 2008, ISBN: 9780387759340.
• Ciarlet, Philippe G: The finite element method for elliptic problems. Philadelphia : Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM, 2002, ISBN: 0898715148.
• Thomée, Vidar: Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems [electronic resource]. Berlin Heidelberg : Springer-Verlag GmbH, 2006, ISBN: 9783540331223.

Kontaktinfo

Lärare: Eskil Hansen, Eskil.Hansen@math.lth.se
Lärare: Robert Klöfkorn, Robert.Klofkorn@math.lu.se
Examinator: Robert Klöfkorn, Robert.Klofkorn@math.lu.se
Studierektor: Anders Holst, Anders.Holst@math.lth.se
Hemsida: https://www.maths.lu.se/utbildning/civilingenjoersutbildning/matematik-och-numerisk-analys-paa-civilingenjoersprogram/kurser/