Topologi
Topology

FMAP15, 7.5 högskolepoäng, A (Avancerad nivå)

Gäller för: 2025/26
Fakultet: Lunds tekniska högskola
Beslutad av: Programledning F/Pi
Beslutsdatum: 2025-04-10
Ikraftträdande: 2025-05-05

Allmänna uppgifter

Fördjupning: Avancerad nivå, kurs/er som inte kan klassificeras
Valfri för: F4, F4-mtm, Pi4-mtm
Undervisningsspråk: Kursen ges på engelska

Syfte

Kursens övergripande mål är att ge en introduktion till grundläggande principer och tekniker inom topologin och deras användning inom matematiken. Allmän topologi används även i andra sammanhang, t ex dataanalys och fysik, i situationer där man har tillståndsrum i vilka man inte kan eller vill definiera form eller närhet mellan punkter i termer av en norm (eller en metrik).

Mål

Kunskap och förståelse
För godkänd kurs skall studenten

• kunna ingående redogöra för de grundläggande topologiska begrepp som introduceras i kursen,
• kunna identifiera de viktigaste satserna i kursen och redogöra för deras bevis,
• kunna redogöra för teorin bakom de metoder som introduceras i kursen,
• kunna ge exempel på olika topologiska rum och förklara deras relevans inom olika områden inom matematiken,
• kunna identifiera topologiska strukturer inom olika matematiska problemtyper.

Färdighet och förmåga
För godkänd kurs skall studenten

• kunna på ett kritiskt och systematiskt sätt integrera kunskap från olika matematiska områden för att analysera och lösa komplexa matematiska problem med användning av metoder från topologin,
• kunna på ett självständigt och kreativt sätt identifiera, formulera och lösa relevanta problem inom kursens ram.

Värderingsförmåga och förhållningssätt
För godkänd kurs skall studenten

• kunna argumentera för betydelsen av topologiska strukturer för olika forskningsområden inom ren och tillämpad matematik,
• identifiera sitt behov av ytterligare kunskap, samt ta ansvar för sin vidare kunskapsutveckling.

Kursinnehåll

• Metriska och topologiska rum med exempel, produkttopologier, kontinuitet,
• Sammanhängande topologiska rum, fullständighet och kompakthet, inklusive Arzela-Ascolis sats,
• Exempel på tillämpningar och topologiska strukturer,
• Exempel på metriska och topologiska rum med relevans för andra områden, såsom normerade rum och Hilbertrum.

Kursens examination

Betygsskala: TH - (U, 3, 4, 5) - (Underkänd, Tre, Fyra, Fem)
Prestationsbedömning:

Examinationen sker i form av en skriftlig tentamen och en till denna hörande muntlig tentamen i slutet av kursen. Den muntliga tentamen ges endast till de studenter som har blivit godkända på den skriftliga tentamen. Genomförda läxuppgifter kan ge ett visst antal bonuspoäng som kan räknas till den skriftliga tentamen; detta kommer att specificeras vid kursstart.

För godkänt på kursen krävs godkänt -- minst 50% av maximal poäng-- på både skriftlig och muntlig tentamen. För betyg betyget 4 krävs minst 67% av den sammanlagt möjliga poängen och för betyget 5 krävs minst 80% av den sammanlagda poängen.

De maximala antalen poäng vid skriftlig och muntlig tentamen är viktade i förhållandet tre till ett.

Om så krävs för att en student med varaktig funktionsnedsättning ska ges ett likvärdigt examinationsalternativ jämfört med en student utan funktionsnedsättning, så kan examinator efter samråd med universitetets avdelning för pedagogiskt stöd fatta beslut om alternativ examinationsform för berörd student.

Moduler
Kod: 0125. Benämning: Skriftlig tentamen.
Antal högskolepoäng: 5.0. Betygsskala: UG - (U, G). Prestationsbedömning: Skriftligt prov omfattande teori och problem. Modulen omfattar: Hela kursen.
Kod: 0225. Benämning: Muntlig tentamen.
Antal högskolepoäng: 2.5. Betygsskala: UG - (U, G). Prestationsbedömning: Muntlig examination av teorin.

Antagningsuppgifter

Förkunskapskrav:

• FMAF01 Matematik - Funktionsteori och FMAF05 Matematik - System och transformer och FMAN55 Kontinuerliga system

Kurslitteratur

• Munkres, James R: Topology. Upper Saddle River, N.J. Prentice Hall, 2000, ISBN: 0131816292. Kursbok.
• Gamelin, Theodore W: Introduction to topology. Mineola, N.Y. : Dover Publications, 1999, ISBN: 0486406806. Alternativ kursbok.
  https://ebookcentral.proquest.com/lib/lund/detail.action?docID=1893208
• Simmons, George Finlay, 1925-2019: Introduction to topology and modern analysis. New York : McGraw-Hill, 1963, ISBN: 0070573891. Bredvidläsning. Senare upplagor finns.
• Steen, Lynn Arthur: Counterexamples in topology. New York : Dover Publications, 1995, ISBN: 048668735X. Bredvidläsning.

Kontaktinfo

Lärare: Sandra Pott, sandra.pott@math.lu.se
Examinator: Anders Holst, Anders.Holst@math.lth.se
Studierektor: Anders Holst, Anders.Holst@math.lth.se
Studierektor: Anna-Maria Persson, anna-maria.persson@math.lu.se